Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

$CA=CB$ және $\angle ACB=120^{\circ}$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген; $M$ — $AB$ қабырғасының ортасы. $P$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінде жатқан кез келген нүкте, ал $Q$ — $CP$ кесіндісіндегі $QP=2QC$ шартын қанағаттандыратын нүкте. $P$ нүктесінен $AB$-ға перпендикуляр жүргізілген түзу $MQ$ түзуімен $N$ нүктесінде қиылысады. $P$ таңдауынан тәуелсіз $N$ нүктесі қандай да бір тұрақты шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$CM||PN$, поэтому $\frac{CQ}{QP}=\frac{CM}{PN}=\frac{1}{2}$, то есть $\vec{PN}=2\vec{MC}=const$, поэтому $N$ лежит на окружности, которая является образом $(ABC)$ при параллельном переносе на $2\vec{MC}$, где $|2\vec{MC}|=R$.