Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина

$ab+bc+ca=1$ және $ a^{2} b+c=b^{2} c+a=c^{2} a+b.$ теңдiктердi қанағаттандыратын барлық нақты $(a, b, c)$ сандарын табыңыз.

Комментарий/решение

$b^2c-c=a(ab-1)=-abc-a^2c\Longrightarrow a^2+b^2+ab=1$ Аналогично мы можем найти $b^2+c^2+bc=1; c^2+a^2+ca=1\Longrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca=3=3(ab+bc+ca)\Longrightarrow a=b=c=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ или $a=0;b=c=1;$ $a=0; b=c=-1$