Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина

Алина шеңбердiң iшiне төбелерi беттеспейтiн 2019 хорда салады. Нүкте белгiленген деп аталады, егерде ол
   (i) хордалардың 4038 төбелердiң бiрi; немесе
   (ii) кем дегенде екi хордалардың қиылысу нүктесi.
   Алина әр белгiленген нүктенi нөмiрлейдi. Алина (i) шартты қанағаттандыратын 4038 нүктенiң iшiнен 2019 нүктенi 0 санымен нөмiрлейдi, ал қалған 2019 нүктенi 1 санымен нөмiрлейдi. Ол (ii) шартты қанағаттандыратын әр нүктенi кез келген бүтiн санымен нөмiрлейдi (олар оң сандар болуы мiндеттi емес).
   Алина әр хорданың бойында көршiлес белгiленген нүктелердi қосатын кесiндiлердi қарастырады. (Егерде хордада $k$ нүкте белгiленген болса, $k-1$ кесiндi пайда болады.) Ол осындай әр кесiндiге сары белгi қояды — төбелер нөмiрлердiң қосындысы және көк белгi қояды — төбелер нөмiрлердiң айырмасының модулi. Алина келесiнi байқады: барлығы $N+1$ сары белгi бар, және олар барлық $0,1, \ldots, N$ сандарды бiр-бiрден қамтидi. Кем дегенде бiр көк белгi 3-ке бөлiнетiнiн дәлелдеңiз.
   (Шеңбердiң кез келген екi әртүрлi нүктенi қосатын кесiндi хорда деп аталады.)