Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия

Как обычно, через $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ обозначим множество всех натуральных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такие, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняются следующие два условия:
   (1) $f(a b)=f(a) f(b)$,
   (2) хотя бы два из чисел $f(a), f(b)$ и $f(a+b)$ равны друг другу.