Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия

Натурал сандардан құралған шексіз $a_1,a_2,\ldots$ тізбегі жақсы деп аталады, егер келесі екі шарт орындалса:
   (1) $a_1$ — толық квадрат;
   (2) әрбір $n \geq 2$ үшін $na_1+(n-1)a_2+\ldots+2a_{n-1}+a_n$ қосындысы толық квадрат болатындай $a_n$ деп ең кіші натурал саны анықталған.
   Кез келген жақсы $a_1,a_2,\ldots$ жақсы тізбегі үшін, барлық $n \geq k$ үшін $a_n=a_k$ болатындай натурал $k$ санының табылатынын дәлелдеңіз.