Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

Дано целое положительное число $s \geqslant 2$. Для каждого целого положительного числа $k$ определим его реверсное значение $k'$ следующим образом: запишем $k$ в виде $a s+b$, где $a, b$ — целые неотрицательные числа и $b < s$, затем положим $k'=b s+a$. Для целого положительного числа $n$ рассмотрим бесконечную последовательность чисел $d_{1}, d_{2}, \ldots$, где $d_{1}=n$ и $d_{i+1}$ — реверсное значение числа $d_{i}$ для каждого целого положительного значения $i$.
   Докажите, что эта последовательность содержит 1 тогда и только тогда, когда остаток при делении числа $n$ на число $s^{2}-1$ равен либо 1, либо $s$.