Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

${{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі болсын. Барлық $n$ натурал сандары үшін $|{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}|\le 1$ теңсіздігі орындалады, ал ${{({{b}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі, мұндағы ${{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}}{n}$. Барлық $n$ натурал сандары үшін $|{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}|\le \dfrac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Максимальная разность двух рядом стоящих членов $a_n$ и $a_{n+1}$ равна 1 . Поэтому максимальное значение члена b равно $$\dfrac{a_1+a_1+1+a_1+1+1+...+a_n}{ n}$$. Если преобразовать это выражение, то получим $$\dfrac {(a_1+a_n)×n}{2n}$$ ; другими словами $a_n=2a_1+d(n-1) $; максимальное d равно 1, поэтому b максимальне равно $\dfrac{2a_1+n-1}{2} $, поэтому максимальная разность между двумя рядом стоящими членами b равна $\dfrac{2a_1+n+1-1}{2} $ минус$\dfrac{2a_1+n-1}{2} $ равно $\dfrac{1}{2} $

База $:n=1\Rightarrow |b_2-b_1|=|\dfrac{a_2-a_1}{2}|\le \dfrac{1}{2}$

Переход $:$ $$n\rightarrow n+1\Rightarrow |b_{n+2}-b_{n+1}|=\Bigg|\dfrac{a_1+a_2+...+a_{n+2}}{n+2}-\dfrac{a_1+a_2+...+a_{n+1}}{n+1}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n+2})-(n+2)(a_1+a_2+...+a_{n+1})}{(n+1)(n+2)}\Bigg|=$$ $$=\Bigg|\dfrac{(n+1)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+na_{n+1}-a_1-a_2-...-a_n}{(n+1)(n+2)}\Bigg|\le \Bigg|\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+2}\Bigg|+\Bigg|\dfrac{na_{n+1}-a_1-a_2-...-a_n}{(n+1)(n+2)}\Bigg|\le \dfrac{1}{n+2}+\dfrac{n}{2n+4}=\dfrac{1}{2}$$