Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово

Точка $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ (\mbox{$AB \ne AC$}). Прямые $BI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ повторно в точках $P \ne B$ и $Q \ne C$ соответственно. Рассмотрим точки $R$ и $S$ такие, что четырёхугольники $AQRB$ и $ACSP$ являются параллелограммами (где $AQ\parallel RB$, $AB\parallel QR$, $AC\parallel SP$, и $AP\parallel CS$). Пусть $T$ — точка пересечения прямых $RB$ и $SC$. Докажите, что точки $R$, $S$, $T$ и $I$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

$TD\parallel AB\Longrightarrow \angle BIC=90+\dfrac{\angle ABC}{2}=\angle QAP=\angle BAQ+\angle BAP=\angle DTB+\angle DTC=\angle BTC \Longrightarrow B,T,I,C$ лежат на одной окружности, $\angle IBR=180-\angle IBT=180-\angle ICT=\angle ICS.$ $\angle BQI=\angle BQC=\angle BPC=\angle IPC;$ $CP=PI;$ $BQ=QI\Longrightarrow \triangle BQI\sim \triangle CPI\Longrightarrow \dfrac{IB}{IC}=\dfrac{BQ}{CP}=\dfrac{BR}{CS}\Longrightarrow \triangle IBR\sim \triangle ICS\Longrightarrow \angle IRT=\angle IRB=\angle ISC=\angle IST\Longrightarrow R,S,T,$ и $I$ лежат на одной окружности $(BQ=AQ=BR;$ $CP=AP=CS)$.