Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 7 класс.

Найдите все положительные целые числа $n>2$, такие что $n=a^{3}+b^{3}$, где $a$ — наименьший положительный делитель $n$, больше 1, а $b$ — произвольный положительный делитель $n$.

Комментарий/решение

Понятно что $a$-простое.

$b\mid n,b\mid b^3\Rightarrow b\mid a^3\Rightarrow b\in {1,a,a^2,a^3}$.Аналогично $a\mid b^3$.Тогда $b\in{a,a^2,a^3}\Rightarrow n\in{a^3+a^3,a^3+a^6,a^3+a^9}$.Легко понять что все три варианта $n$-четны тогда $a=2\Rightarrow n\in{16,72,520}$