Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 7 класс.

Дан треугольник $ABC$. Точки $X$ и $Y$ таковы, что точки $X,B,C,Y$ лежат на одной прямой в указанном порядке, причем $AC = BX$ и $AB = CY$. Точки $P,Q,R$ — середины отрезков $AX,AY,BC$ соответственно. Докажите, что если $\angle PRQ = 2\angle BAC$, то $\angle BAC = 60^\circ$.

Комментарий/решение

Отметим точку $D$ так, что $BACD$ - параллелограмм. Тогда $BX=BD$ и $CD=CY$.

А еще $AR=RD$ и $A,R,D$ лежат на одной прямой потому что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Тогда $PR \parallel XD$ и $QR \parallel YD$

Значит $2 \angle{BAC}=\angle{PRQ}=\angle{PRA}+\angle{QRA}=\angle{XDA}+\angle{YDA}=\angle{XDY}$

По свойству параллелограмма $\angle{BAC}=\angle{BDC}$

Скажем $\angle{DXB}=\angle{XDB}=x$ и $\angle{CYD}=\angle{CDY}=y$

Тогда $2 \angle{BAC}=\angle{XDY}=x+y+ \angle{BDC}=x+y+ \angle{BAC}$

Получается $\angle{BAC}=x+y$

Просуммирует углы треугольника $XDY$:

$$2x+2y+ \angle{BAC}=3 \angle{BAC}=180^{\circ}$$ откуда и следует требуемое.