Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

$N=(20!)^3+(24!)^3$ саны неше нөлмен аяқталады?

Комментарий/решение

Сначала рассмотрим число 20! :

$$20! =1\cdot2\cdot .. \cdot 5 \cdot ... \cdot 10 \cdot ... \cdot 12 \cdot .. \cdot 15 \cdot ... \cdot 20$$

Это число заканчивается на 4 нуля из за 2 пар которые дают ноль и двух чисел которые заканчиваются на ноль ( других пар нет т.к. у них нет 5 в делителях)

$(20!)^3$ заканчивается на 12 нулей $(10000 \cdot 10000 \cdot 10000)$

Тоже самое делаем с 24! и выходит что $(24!)^3$ тоже заканчивается на 12 нулей

Значит N тоже заканчивается на 12 нулей

Ваше решение неверно.

Пусть $X=2\cdot5\cdot10\cdot12\cdot15\cdot20,$ и $Y=3\cdot4\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot11\cdot13\cdot14\cdot16\cdot17\cdot18\cdot19.$

Тогда $N=(20!)^3+(24!)^3=X^3\cdot Y^3(21\cdot22\cdot23\cdot24+1).$

$X^3\equiv 0\pmod {10^{12}}$ и $Y\equiv 0 \pmod 4$ и $21\cdot22\cdot23\cdot24+1\equiv (-4)\cdot(-3)\cdot(-2)\cdot(-1)+1\equiv 0\pmod {25}\Rightarrow N\equiv 0\pmod {10^{14}}$

$N$ оканчивается 14 нулями $\blacksquare$