Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

$x$ және $y$ нақты сандары келесi теңдiктi қанағаттандыратыны белгiлi: $(2x+y)^2=4x+24.$ $x + y \le 7$ болатынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

Пусть $x+y=t$, тогда из условия задачи получим, что $$(x+t)^2=4x+24 x^2+2tx+t^2-4x-24\Leftrightarrow x^2+2(t-2)x+(t^2-24)=0,$$ рассмотрим полученное как квадратное уравнение относительно $x$, учитывая что $x$ - действительное, найдем дискриминант этого уравнения $$D=b^2-4ac=4((t-2)^2-t^2+24)=4(t^2-4t+4-t^2+24)=4(28-4t)\geq 0,$$ отсюда $t\leq 7$, и значит $x+y\leq 7$.

$x+y>7\Longrightarrow 4x+24=(2x+y)^2>(7+x)^2\Longrightarrow 0>x^2+10x+25=(x+5)^2$ противоречие.