Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.

(a) Докажите, что для любых действительных чисел $x, y, z$ справедливо равенство: $$ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z\right) .$$ (b) Найти все пары $(a, b)$ действительных чисел, удовлетворяющих равенству: $a^{3}+b^{3}+6 a b=8$.

Комментарий/решение

в задаче а раскроем скобки и у нас выйдет

x^3+y^3+z^3-3xyz=x^3+xy^2+xz^2-x^2y-x^2z-xyz+x^2y+y^3+yz^2-xy^2-xyz-y^2z+x^2z+y^2z+z^3-xyz-xz^2-yz^2=x^3+y^3+z^3-3xyz

в задаче b перенесем 8 влево и представим как 2^3 и далее разложим на множители как первое тождество и у нас выйдет

a^3+b^3-2^3+6ab=(a+b-2)(a^2+b^2+4-ab+2a+2b)=0

Первое уравнение даёт следующие пары (a, 2 - a), где a ∈ R

второе уравнение можно умножить на два и разложить на множители выходит

2a^2+2b^2+8-2ab+4a+4b=0

(a^2-2ab+b^2)+(a^2+4a+4)+(b^2+4b+4)=0

(a-b)^2+(a+2)+(b+2)=0

далее не трудно догадаться что a=b

a=-2

b=-2

также при подстановке чисел 1:1 они дают верное равенство но с решения сверху пара чисел 1:1 не вытекает (