Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

$x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ және $xyz=1$ шарттары орындалатын $x, y, z$ оң нақты сандар болсын. Онда, $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$ болатынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

$$0\le x+y+z-xy-yz-zx+xyz-1=(x-1)(y-1)(z-1)$$

$1) x,y,z\ge1\Longrightarrow xyz\ge1\varnothing$

$2)x,y\ge1\ge z\Longrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\le0\varnothing$

$3)x\ge1\ge y,z\longrightarrow y+z\le 2\blacksquare$

Предположим обратное. Тогда min{ $x+y, x+z, y+z$ } > 2

Значит, каждый из них больше 2.

Можно увидеть, что $x + y + z \geq xy + xz + yz$

Тогда $2x + 2y + 2z \geq 2xy + 2xz + 2yz = x(y+z) + y(x+z) + z(x+y) > 2x + 2y + 2z$

Противоречие.