Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

Окружности $\Gamma$ и $\Omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $A$. Окружность $\Omega$ лежит внутри окружности $\Gamma$. На окружности $\Gamma$ выбрана точка $P$, отличная от точки $A$. Хорды $P R$ и $P Q$ окружности $\Gamma$ касаются окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Прямая $A P$ пересекает окружность $\Omega$ в точке $X$ $(X \neq A)$. Прямые $A C$ и $B X$ пересекаются в точке $Y$ (точка $C$ лежит между точками $A$ и $Y$, точка $X$ лежит между точками $B$ и $Y$). Оказалось, что точка $Y$ лежит на окружности $\Gamma$. Докажите, что $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.