Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

Найдите все простые числа $p$, для которых найдутся натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $p^{m}=n^{3}+8$.

Комментарий/решение

p^m=(n+2)(n²-2n+4)

Пусть (n+2)=p^a

(n²-2n+4)=p^b

Заметим что при n не меньших 3

Выражение n²-2n+4>n+2

Тогда, b>a

И p^b делится нацело на p^a

n²-2n+4=(n+2)(n-4)+12

Левая часть делится на (n+2)

Тогда 12 тоде должно делится на (n+2)

Значит всевозможные значения n это;

1, 2, 4, 10

1) p^m=1³+8=9

p=3; m=2

2) p^m=2³+8=16

p=2; m=4

3) p^m=4³+8=72

Нет решений

4) p^m=10³+8=1008

Нет решений

Ответ: 2; 3

$p=2\Rightarrow 2^m=n^3+8\Rightarrow n\equiv 2\pmod 4\Rightarrow 2^m=(n+2)(n^2-2n+4)\Rightarrow n=2,m=4$

$p=3\Rightarrow m-1=V_3(n+2)\Rightarrow 3=n^2-2n+4\Rightarrow n=1,m=2$

$p>3\Rightarrow m=V_p(n+2)\Rightarrow 1=n^2-2n+4>3\varnothing$