29-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Македония, 2025 год

Определите все числа вида $20252025\ldots 2025$ (состоящие из одного или нескольких подряд идущих блоков числа $2025$), которые являются квадратами положительных целых чисел. ( Сербия )

Комментарий/решение

Очевидно, что данное число делится на 2025. Тогда можно это число представить в виде $100010001...0001*2025$, значит число $10001...0001$ является квадратом целого числа. Его можно представить в виде $x^2=10^{4k-4}+...+10^4+10^0=\frac{10^{4k}-1}{9999} = (10^{2k}+1)(10^k-1)(10^k+1) = 11*101*(3x)^2$.

Тогда очевидно, что одно из выражений $10^{2k}+1, 10^k-1, 10^k+1$ является полным квадратом, но $10^{2k}+1\equiv 2 \pmod{3}$, также $10^k-1 \equiv 3 \pmod {4}$ при $k \geq 2$, также $10^k+1 \equiv 2 \pmod{3}$. То единственное решение при $k=1$

Если я правильно помню, снимали 2 балла за то, что не доказано, что одна из скобок слева - полный квадрат.

Что-то непонятно, откуда поледнее равенство в цепочке взялось.

10^{4k} – 1 = 9999x² = 9*11*101*x²=(3x)² * 11 * 101