Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год

В графе $p$ вершин, пронумерованных числами от 1 до $p$, и $q$ рёбер, пронумерованных числами от $p+1$ до $p+q$. Оказалось, что для любого ребра сумма номеров концов этого ребра и номера самого ребра равна одному и тому же числу $s$. Еще известно, что из всех вершин выходит одно и то же число ребер. Докажите, что $s=\frac{1}{2}(4 p+q+3)$. ( R. Figueroa-Centeno, R. Ichishima, F. Muntaner-Batle )

Комментарий/решение

Пусть степень каждой вершины $d$, тогда $dp = 2q$ - сумма степеней вершин. Кроме того,

sq = (p+1) + (p+2) + ... + (p+q) + d(1+2+...+p) = (2pq+q^2+q+dp^2+dp)/2,

Вместо $dp$ подставим $2q$ и сократим на $q$, тогда получим требуемое.