Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год

Графта $p$ төбе бар, олар 1-ден $p$-ке дейін нөмірленген, және $q$ қыры бар, олар $p+1$-ден $p+q$-ге дейін нөмірленген. Кез келген қыр үшін оның ұштарының нөмірлерінің қосындысы мен қырдың нөмірінің қосындысы тұрақты $s$ санына тең екені белгілі. Сондай-ақ, әр төбеден бірдей санды қыр шығады. $s=\frac{1}{2}(4p+q+3)$ екенін дәлелдеңіз. ( R. Figueroa-Centeno, R. Ichishima, F. Muntaner-Batle )

Комментарий/решение

Пусть степень каждой вершины $d$, тогда $dp = 2q$ - сумма степеней вершин. Кроме того,

sq = (p+1) + (p+2) + ... + (p+q) + d(1+2+...+p) = (2pq+q^2+q+dp^2+dp)/2,

Вместо $dp$ подставим $2q$ и сократим на $q$, тогда получим требуемое.