12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

Арашу дали бумажный равнобедренный прямоугольный треугольник. Сгиб этой бумаги называется хорошим, если у многоугольника, полученного после этого сгиба, все углы будут меньше $180^{\circ}$. Сначала Араш делает один хороший сгиб бумаги. Затем Бабак берет эту бумагу и выполняет два хороших сгиба так, что в итоге бумага оказывается согнутой ровно три раза. Араш хочет, чтобы у итогового полученного многоугольника было как можно больше сторон, а Бабак, наоборот, как можно меньше. При условии, что оба будут действовать оптимально, сколько сторон будет у итогового многоугольника?

Комментарий/решение

Правильный ответ — ✅ 3.

Объяснение

В этой задаче «хороший» сгиб — это сгиб, в результате которого получается выпуклый многоугольник (все углы меньше

180)

Сгибы и стороны: Когда мы сгибаем бумагу, линия сгиба становится новой стороной многоугольника. Если сгиб проходит через две существующие стороны, количество сторон может увеличиться. Однако, если согнутая часть полностью перекрывает один или несколько углов, количество сторон может не расти или даже уменьшиться.

Стратегия Бабака: Бабак хочет минимизировать количество сторон. Поскольку он делает последние два сгиба, у него есть возможность «складывать» бумагу так, чтобы новые стороны накладывались на старые или убирали лишние вершины.

Минимально возможный результат: Минимальное количество сторон для любого плоского многоугольника — 3 (треугольник). Бабак всегда может найти способ сделать сгибы так, чтобы в итоге получился треугольник, независимо от того, какой первый сгиб сделал Араш. Так как Бабак действует оптимально для своей цели, он добьется именно этого результата.

Почему другие варианты не подходят

❌ 4, 5, 6 и более: Хотя Араш старается увеличить число сторон, делая первый сгиб так, чтобы создать сложную фигуру, два последующих хода Бабака позволяют последнему «срезать» лишние углы или сложить фигуру обратно в треугольную форму.

Правильный ответ — ✅ 3.

Объяснение

В этой задаче «хороший» сгиб — это сгиб, в результате которого получается выпуклый многоугольник (все углы меньше

180)

Сгибы и стороны: Когда мы сгибаем бумагу, линия сгиба становится новой стороной многоугольника. Если сгиб проходит через две существующие стороны, количество сторон может увеличиться. Однако, если согнутая часть полностью перекрывает один или несколько углов, количество сторон может не расти или даже уменьшиться.

Стратегия Бабака: Бабак хочет минимизировать количество сторон. Поскольку он делает последние два сгиба, у него есть возможность «складывать» бумагу так, чтобы новые стороны накладывались на старые или убирали лишние вершины.

Минимально возможный результат: Минимальное количество сторон для любого плоского многоугольника — 3 (треугольник). Бабак всегда может найти способ сделать сгибы так, чтобы в итоге получился треугольник, независимо от того, какой первый сгиб сделал Араш. Так как Бабак действует оптимально для своей цели, он добьется именно этого результата.

Почему другие варианты не подходят

❌ 4, 5, 6 и более: Хотя Араш старается увеличить число сторон, делая первый сгиб так, чтобы создать сложную фигуру, два последующих хода Бабака позволяют последнему «срезать» лишние углы или сложить фигуру обратно в треугольную форму.

Правильный ответ — ✅ 3.

Объяснение

В этой задаче «хороший» сгиб — это сгиб, в результате которого получается выпуклый многоугольник (все углы меньше

180)

Сгибы и стороны: Когда мы сгибаем бумагу, линия сгиба становится новой стороной многоугольника. Если сгиб проходит через две существующие стороны, количество сторон может увеличиться. Однако, если согнутая часть полностью перекрывает один или несколько углов, количество сторон может не расти или даже уменьшиться.

Стратегия Бабака: Бабак хочет минимизировать количество сторон. Поскольку он делает последние два сгиба, у него есть возможность «складывать» бумагу так, чтобы новые стороны накладывались на старые или убирали лишние вершины.

Минимально возможный результат: Минимальное количество сторон для любого плоского многоугольника — 3 (треугольник). Бабак всегда может найти способ сделать сгибы так, чтобы в итоге получился треугольник, независимо от того, какой первый сгиб сделал Араш. Так как Бабак действует оптимально для своей цели, он добьется именно этого результата.

Почему другие варианты не подходят

❌ 4, 5, 6 и более: Хотя Араш старается увеличить число сторон, делая первый сгиб так, чтобы создать сложную фигуру, два последующих хода Бабака позволяют последнему «срезать» лишние углы или сложить фигуру обратно в треугольную форму.

Правильный ответ — ✅ 3.

Объяснение

В этой задаче «хороший» сгиб — это сгиб, в результате которого получается выпуклый многоугольник (все углы меньше

180)

Сгибы и стороны: Когда мы сгибаем бумагу, линия сгиба становится новой стороной многоугольника. Если сгиб проходит через две существующие стороны, количество сторон может увеличиться. Однако, если согнутая часть полностью перекрывает один или несколько углов, количество сторон может не расти или даже уменьшиться.

Стратегия Бабака: Бабак хочет минимизировать количество сторон. Поскольку он делает последние два сгиба, у него есть возможность «складывать» бумагу так, чтобы новые стороны накладывались на старые или убирали лишние вершины.

Минимально возможный результат: Минимальное количество сторон для любого плоского многоугольника — 3 (треугольник). Бабак всегда может найти способ сделать сгибы так, чтобы в итоге получился треугольник, независимо от того, какой первый сгиб сделал Араш. Так как Бабак действует оптимально для своей цели, он добьется именно этого результата.

Почему другие варианты не подходят

❌ 4, 5, 6 и более: Хотя Араш старается увеличить число сторон, делая первый сгиб так, чтобы создать сложную фигуру, два последующих хода Бабака позволяют последнему «срезать» лишние углы или сложить фигуру обратно в треугольную форму.