12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

$\omega$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. $T$ нүктесі — $\omega$-ның $A$ нүктесін қамтымайтын $BC$ доғасының ортасы. $BT$ түзуі $\angle BAC$-ның сыртқы бұрышының биссектрисасын $P$ нүктесінде қияды. $\omega$-ға $T$ нүктесінде жүргізілген жанамаға $AH$ перпендикуляры түсірілген, ал $M$ — $AP$ кесіндісінің ортасы. $\angle AHM=\angle ACP$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$PK \perp l, K \in l$ $CT \cap PK = N$, $T$-середина дуги $BC$, $\Rightarrow$ $\angle TCB = \angle TBC = \angle DTC = \angle HTP= \alpha$ где $D$ точка на касательной $l$ $\Rightarrow$ $\angle PTK= \angle NTK$, кроме этого $TK \perp PN$ $\Rightarrow$ $PK=KN$ $\Rightarrow$ $KM \parallel AN$, $APKH$-трапеция где $\angle AHK= \angle PKH= 90^\circ$. То по лемме $HM=MK$ $\Rightarrow$ $\angle PNT=\angle PAB=90- \alpha$ $\angle CAB= 2\alpha$ $\Rightarrow$ $PNCA$ вписанный и используя равнобедренность $\angle AHM=\angle PKM=\angle PNA=\angle PCA$ что и требовалось доказать.

Адеми