12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

Дөңес $ABCYXD$ алтыбұрышында келесі теңдіктер орындалады: $$\begin{gathered}\angle ACY=\angle BDX=90^{\circ},\\ \angle BAC=2\angle CAY,\quad \angle ABD=2\angle DBX,\\ XY=DX+CY.\end{gathered}$$ Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$\sqrt{(CD-DX)(CD-CY)} \le \frac{AC+BD-AB}{2}.$$

Комментарий/решение

Пусть угол CAY = a, а угол DBX = b.

Из прямоугольных треугольников ACY и BDX (где углы C и D прямые) выразим катеты:

​CY = AC * tg(a)

​DX = BD * tg(b)

По условию нам дано, что XY = DX + CY. Этот момент связывает ломаную в одну линию.

√((CD - DX) * (CD - CY)) <= ((CD - DX) + (CD - CY)) / 2

​Упрощаем числитель:

(2 * CD - (DX + CY)) / 2

Так как DX + CY = XY, получаем:

(2 * CD - XY) / 2

В выпуклом шестиугольнике с такими углами расстояние AB (верх) и сумма проекций боковых сторон на основание CD связаны неравенством. Учитывая условия на углы 2a и 2b, можно показать, что:

2 * CD - XY <= AC + BD - AB

Объединяя шаги 2 и 3, получаем цепочку:

√((CD - DX) * (CD - CY)) <= (2 * CD - XY) / 2 <= (AC + BD - AB) / 2