12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB < AC$. Пусть $\omega$ — произвольная окружность, проходящая через точки $B$ и $C$. $F$ и $E$ — точки пересечения $\omega$ со прямыми $AB$ и $AC$ соответственно. $M$ и $N$ — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BF$ и $CE$ со стороной $BC$ соответственно. Пусть $P$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $MN$ с $EF$. Докажите, что при изменении окружности $\omega$ точка $P$ лежит на фиксированной прямой.