12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

$AB < AC$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтетін кез келген $\omega$ шеңберін алайық. $\omega$ шеңбері $AB$ және $AC$ түзулерін тиісінше $F$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді. $BF$ және $CE$ кесінділерінің орталық перпендикулярлары $BC$ қабырғасын тиісінше $M$ және $N$ нүктелерінде қиып өтеді. $MN$ кесіндісінің орта перпендикуляры $EF$ түзусін $P$ нүктесінде қияды. $\omega$ шеңбері өзгергенде $P$ нүктесі қандай да тұрақты түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть K — середина BC, D — точка пересечения AK и EF, Q — точка пересечения FM и EN, а O — центр окружности \omega. Мы имеем \angle FEQ = 180^\circ - \angle AEF - \angle NEC = 180^\circ - \angle B - \angle C = \angle A, следовательно, QE является касательной к окружности (AEF). Аналогично, QF также является касательной к (AEF), поэтому точка Q лежит на A-симедиане. Заметим, что \triangle AEF \sim \triangle ABC, следовательно, Q лежит на A-медиане, то есть Q лежит на прямой AK. Также отношение \frac{AD}{DQ} остается неизменным при изменении \omega.

​Так как O лежит на серединных перпендикулярах к BF и CE, O является инцентром (центром вписанной окружности) треугольника QMN, а K — точкой касания вписанной окружности со стороной MN.

​Теперь пусть T — середина дуги \stackrel{\smallfrown}{MQN}, а R — точка на серединном перпендикуляре к MN, такая что AR \parallel EF. Заметим, что QT \parallel EF, так как и QT, и EF перпендикулярны QO. При изменении \omega все треугольники QMN гомотетичны относительно точки K, поэтому T лежит на фиксированной прямой, проходящей через K.

​Так как AR \parallel PD \parallel TQ, мы имеем \frac{RP}{PT} = \frac{AD}{DQ}, что означает, что отношение \frac{RP}{PT} постоянно. Пусть S — точка пересечения AR и KT. Заметим, что S является фиксированной точкой, так как лучи KT и AR фиксированы. Тогда, согласно гомотетии с центром в точке S, точка P лежит на фиксированной прямой, проходящей через S.

Не трудно убедиться что точка P движется линейной относительно прямых BC и анти параллельной прямой BC относительно угла А,тогда все точки P на одной прямой