Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Кез келген екі натурал $a$ және $b$ сандары үшін келесі амалдар орындалатындай әрқашанда сондай $x$, $y$ және $n$ натурал сандары табылатынын дәлелдеңіз: $an=x^{2025},$ $bn=y^{2026}.$

Комментарий/решение

$gcd(a,b)=d;$ $a=du; b=dv.$ Пусть $n=d^{2025\cdot2026-1}\cdot v^{2025}\cdot u^{2026\cdot 2024},$ тогда $an=(d^{2026}\cdot v \cdot u^{2025})^{2025},$ и $bn=(d^{2025}\cdot v\cdot u^{2024})^{2026}$

$2025|\nu_p(x^{2025})=\nu_p(an)=\nu_p(a)+\nu_p(n)\Rightarrow \nu_p(n)\equiv -\nu_p(a)\pmod {2025}$

$2026|\nu_p(y^{2026})=\nu_p(bn)=\nu_p(b)+\nu_p(n)\Rightarrow \nu_p(n)\equiv -\nu_p(b)\pmod {2026}$

Так как $(2025,2026)=1$ то по Китайской Теореме об Остатков это уравнение имеет решение в $\nu_p(n)$ откуда мы уже сможем построить такой $n$