Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Пусть задано множество $\{1, 2,\ldots,n\}$. Из этого множества выбрали $2n - 1$ (не обязательно попарно различных) двухэлементных подмножеств. Докажите, что всегда можно удалить $(n-1)$ из этих подмножеств так, что объединение оставшихся подмножеств будет содержать не более $\frac{2n}{3}+1$ различных элементов.