Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 10 класс

$ABC$ үшбұрышының $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларында, $BD:DC = CE:EA = AF:FB = 3:2$ қатынастары орындалатындай, сәйкесінше $D$, $E$ және $F$ нүктелері жатыр (суретте көрсетілгендей). Егер боялған бөліктің ауданы $100$-ге тең болса, онда $ABC$ үшбұрышының ауданы қаншаға тең?

Комментарий/решение

Юзаем теорему рауса и получаем ответ 1900

Если что теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами.

То есть если x,y,z это соотношение в котором AD, BE, CF делит стороны треугольника то площадь заштрихованной области равен

$\frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}$

От площади исходного треугольника. Так как у нас x=y=z=1,5 то и область заштрихованного треугольника равен 1/19 от исходного