Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Решите в натуральных числах уравнение $x^4+y^4=n!+2026$. ( С. Мейрам )

Комментарий/решение

Эту задачу решил Пернехан Мейіжан Саттарханұлы, а я без стыда и совести взял и списал у него, так ещё умудрился написать это решение на матол

Если $n≥5 \Rightarrow n!+2026 \equiv 10 \pmod {16}$ $x^4,y^4\equiv0,1 \pmod{16}$ что значит $n≤4$ расматриваем все 4 случая и получаем что ответа нет

На самом деле там получается что $n \leq 5$ т.к. $ 16 \nmid 24$

Да это мое решение

Рассмотрим (mod 13).

x⁴,y⁴≡0,1,3,9.

2026≡11 если n>=13,то n!≡0.

x⁴+y⁴≡11,это невозможно значит n<13.

Перебрав все возможные варианты n, мы убедимся что в этом уравнений нету натуральных значений x и y.

Первый комментарий на матоле, хоть и поздно но решение:

Если $n ≥ 5 -> n! + 2026 \equiv 10 (mod 16), x^4 + y^4 \equiv 0,1,2 (mod 16)$ значит $n ≤ 5$, то $x^4 + y^4 = n! + 2026 ≤ 120 + 2026 < 2401 = 7^4 -> x,y ≤ 6$ случай $x = y = 6$ невозможен, так как оно превышает правую часть, а в остальных случаях получим противоречие, решений нет.