Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Барлық нақты сандар $x$ және $y$ үшін $$f(f(y)+x-y)+f(x-y)=f(xf(y)-y)$$ теңдігі орындалатындай барлық $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. Мұнда $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. ( С. Мейрам )

Комментарий/решение

$P(x,y): f(f(y)+x-y)+f(x-y)=f(xf(y)-y).$

$P(0,0):f(f(0))=0$

$P(0,f(0)):2f(-f(0))=f(-f(0))\Rightarrow f(-f(0))=0$

$P(f(0),f(0)):2f(0)=f(-f(0))=0\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,0):2f(x)=0\Rightarrow f(x)=0$

f(x) =x^2-x болмайма и жауап 0 және 2

P(x,y) : f(f(y) + x - y) + f(x - y) = f(xf(y) - y)

P(0,y) : f(f(y) - y) + f(-y) = f(-y) -> f(f(y) - y) = 0

Пусть z:=f(y) - y -> f(z) = 0

P(x,z) : f(f(z) + x - z) + f(x - z) = f(xf(z) - z)

Получаем 2f(x - z) = f(-z) -> Отсюда получаем что

f - постоянна -> f(x) = c (c - const)

Подставляем в начальное выражение

2с = с -> c = 0

Ответ = f(x) = 0