Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур регионального этапа

Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a$, $b$, $c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$? ( Р. Ишкуватов )

Комментарий/решение

а,b,c делители числа n.Значит $n^2$ делится на $a^2,b^2,c^2$.Из этого следует что $(a-1) \times (b-1) \times (c-1)$ делится на $a^2,b^2,c^2$.Знаем что НОД($a^2,a-1)=1$.Значит $(b-1)(c-1) \equiv 0 \pmod {a^2}$.Аналогично для b и с выполняется тоже самое.

Если х делится на у,тогда $y\leq x$.Точно также выполняем для a,b,c.

$a^2\leq bc-b-c-1$;

$b^2\leq ac-a-c-1$;

$c^2\leq ab-a-b-1$.

Суммируем все неравенства.Выходит $a^2+b^2+c^2\leq (ab+bc+ca)-2(a+b+c)-3$.Теперь уменшим $a^2+b^2+c^2$ на $ab+bc+ca$.Сократим.И выходит что $0\leq (-1) \times (2a+2b+2c+3)$.Но это неправильно так как a,b,c числы большие 1.

Значит такое невозможно.