қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. В каждом столбце таблицы $10\times 10$ записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026? Достаточно найти один пример.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a^2+b^2 > (a+b)^2$ и $b^2+c^2 > (b+c)^2$. Что больше: $c^4+a^4$ или $(a+c)^4$?
(
И. Рубанов,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В треугольнике $ABC$ точка $K$ — середина биссектрисы $BL$. Известно, что $AK = AL$ и $AK \perp BC$. Найдите величину угла $ABC$.
(
П. Кожевников
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В электронную таблицу, где две строки и $n$ столбцов, в произвольном порядке записаны все натуральные числа от 1 до $2n$ (в каждой клетке — одно число). В полдень каждого дня компьютер случайным образом выбирает столбец, где число из верхней строки больше числа из нижней, и меняет эти два числа местами, а затем случайным образом переставляет числа в верхней строке. В момент, когда в каждом столбце верхнее число оказывается меньше нижнего, процесс заканчивается. Докажите, что такой процесс не может происходить дольше, чем $n^2$ дней.
(
М. Магин,
Р. Баринов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a$, $b$, $c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$?
(
Р. Ишкуватов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)