9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Үш тізбектес натурал сан берілген. Егер олардың орташасының кубы осы үш санның көбейтіндісінен $247$-ге артық болса, осы үш санның қосындысын нешеге тең?

Комментарий/решение

обозначим числа как n, n + 1, n + 2. Теперь по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. значит $(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$. а произведение всех 3 чисел равно $n * (n+1)*(n+2) = n^3 + 3n^2 + 2n$. куб среднего числа больше на 247 а значит $n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = n^3 + 3n^2 + 2n + 247$. то есть n +1 = 247 , n = 246 , n + 2 = 248. сумма равна 246 + 247 + 248 = 741