Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Келесі екі шартты қанағаттандыратын натурал сандардан тұратын шексіз $S$ жиыны табылады ма:
   (i) барлық қос қостан әртүрлі $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$ сандары үшін $\text{ЕҮОБ}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ теңдігі орындалады;
   (ii) әрбір $x\in S$ үшін $x^2$ саны $x+y+2026$ санына бөлінетіндей $y\in S$ саны табылады? ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Условие (ii) аналогична тому что $(y+2026)^2$ делится на $x+y+2026$ для пары $(x,y)$ где $y$ подобран к любому $x\in S$, пусть это свойство (iii). Из условия (i) выходит что количество четных конечно, но (ii) дает что для нечетного $x$ число $y$ четное, тогда для какого-то четного $y$ существует бесконечно много нечетных $x$ выполняющих (iii) что невозможно так как $(y+2026)^2$ конечное число но делится на бесконечно много различных чисел $x+y+2026$.