Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа

Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2+b^2+c^2 = a+b+c$. Докажите, что $$\frac{(a-1)^{2}}{b+c+1}+\frac{(b-1)^{2}}{c+a+1}+\frac{(c-1)^{2}}{a+b+1} \leqslant \frac{3}{1+a+b+c}.$$ ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Достаточно легкая задачка, достаточно заметить, что

$$3=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+a+b++c$$

Заменив тройку на данное выражение, просто доказать, что

$$\frac{(a-1)^2}{b+c+1} \le \frac{(a-1)^2+a}{a+b+c+1}$$

Что доказывается очень легко