Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Төмендегі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратынын қанша оң бүтін $n$ саны табылатынын анықтаңдар:
a) $n$ санының ондық жазбасының ұзындығы 10 цифрдан аспайды;
b) $n$ саны 10-ға бөлінбейді.

Комментарий/решение

Чисел которые содержат не более 10 цифр 9999999999

А чисел до 9999999999 которые делятся на 10 999999999 Отсюда

9999999999-999999999=9×10*9

По условиям последнее число не равен $0$. Расмторим однозначных, двухзанычных,..., десятизначных чисел которые не делится на 10. Первое число один из $1, 2,..., 9$ Второе число один из $0, 1, 2,..., 9$ (Если не двухзначный) И т.д.. Количеcтва таких чисел $9+81+810+81000+...+8100000000=9=9^2+9^2 \cdot 10+9^2 \cdot 10^2+...+9^2 \cdot 10^8=10^9 \cdot 9=9+9^2(10+100+1000+...+100000000)=9+81(111111110)=8999999919$