Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Келесі екі шартты бір мезгілде қанағаттандыратын $n$ натурал саны және $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ жай сандары бар ма?
   1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
   2) кез келген тең емес $i, j$ үшін $p_{i} \neq p_{j}.$

Комментарий/решение

Короче

$$LHS=(n^{11}+n^{10}+1)(n^7+n^2+1)$$

Правая скобка

$$(n(n-1)(n^3+1)+1)(n^2+n+1)$$

Левая

$$(n^9-n^7+n^6-n^4+n^3-n+1)(n^2+n+1)$$

Тогда обе делятся на n^2+n+1, отсюда противоречие