30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

$a$, $b$, $c$ оң нақты сандар болсын және $a^2+b^2+c^2\ge 3.$ $$\frac{a^4}{a^2+2b+2c}+\frac{b^4}{b^2+2c+2a}+\frac{c^4}{c^2+2a+2b}\ge \frac35$$ теңсіздігін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

1. $$1)a+b+c\le 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$$

$$2)a+b+c\ge 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge 2a+2b+2c-3\ge a+b+c $$

$$LHS\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+4(a+b+c)}\ge \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{5(a^2+b^2+c^2)}$$

2. $$a^2+b^2+c^2=x$$ $$LHS\ge \dfrac{3(a^4+b^4+c^4)}{3(a^2+b^2+c^2+2)}\ge \dfrac{x^2}{3(x+2)}\ge \dfrac{3}{5}\rightarrow$$ $$5x^2-9x-18=(x-3)(5x+6)\ge 0 \blacksquare$$