Международная олимпиада 2026, Шанхай, 2026 год

Обозначим через $\mathbb{R}_{ > 0}$ множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}_{ > 0} \rightarrow \mathbb{R}_{ > 0}$, что $$ \sqrt{\frac{x^2+f(y)^2}{2}} \geqslant \frac{f(x)+y}{2} \geqslant \sqrt{x f(y)} $$ при всех $x, y \in \mathbb{R}_{ > 0}$.

Комментарий/решение

Пусть $P(x,y)$ обозначает изначальное условие

$P(f(x),x):$ $f(x) \geq \frac{f(f(x)) + x}{2} \geq f(x)$ $\Rightarrow$ $2f(x) = f(f(x)) + x$ $\Rightarrow$ $f(f(x)) - 2f(x) + x = 0$ для любого $x \in \mathbb{R}^+$

В общем виде $f^{n+1}(x) - 2f^{n}(x) + f^{n-1}(x) = 0$. Пусть $a_n = f^n(x)$, Решим характеристическое уравнение: $$a_{n+1} -2a_n + a_{n-1} = 0$$

Тогда решая уравнение $r^2 -2r+1 = 0$ видим что у него единственный корень $r=1$.

Тогда $f^n(x) = a_n = cn + d$ для каких то констант $c,d$

$f^0(x) = x = d$ и $f^1(x) = f(x) = c+d = c+x$ $\Rightarrow$ $c = f(x) - x$

Так $f^n(x) = a_n = (f(x) - x)n + x > 0$, откуда $f(x) = x$ иначе $\exists$ $n$ что $f^n(x) = a_n = (f(x) - x)n + x \leq 0$ $\varnothing$

$f(x) =x$ при всех $x \in \mathbb{R}^+$ что подходит.