қазақша
русскийМеждународная олимпиада 2026, Шанхай, 2026 год
Задача №1. Доска разделена на 2026 частей. В каждой части написано по одному целому числу, большему 1 (числа на доске не обязательно различны). Время от времени Пафнутий выполняет следующие действия. Он выбирает две различные части доски, числа в которых больше 1. Обозначим число в первой из частей через $m$, а во второй — через $n$. Пафнутий заменяет эти два числа на числа $$ \text{НОД}(m, n) \quad \text { и } \quad \frac{\text{HOK}(m, n)}{\text{HOД}(m, n)}.$$ Он продолжает эти действия, пока возможно.
(a) Докажите, что независимо от действий Пафнутия рано или поздно только в одной из частей будет написано число, большее 1. Обозначим это число через $M$.
(b) Докажите, что значение $M$ не зависит от действий Пафнутия.
комментарий/решение(2)
(a) Докажите, что независимо от действий Пафнутия рано или поздно только в одной из частей будет написано число, большее 1. Обозначим это число через $M$.
(b) Докажите, что значение $M$ не зависит от действий Пафнутия.
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дан треугольник $ABC$. Точки $M$ и $N$ — середины его сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Точки $K$ и $L$ выбраны строго внутри треугольников $BMC$ и $BNC$ соответственно, причём точка $K$ лежит строго внутри треугольника $ABL$, а точка $L$ лежит строго внутри треугольника $AKC$. Оказалось, что $\angle KBA=\angle ACL$, $\angle LBK=\angle LNC$ и $\angle LCK=\angle BMK.$ Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $AKL$. Докажите, что $OM=ON$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Дано целое положительное число $n$. У Карлсона и Малыша есть палка длины 1, которую они делят между собой. Сначала Карлсон отмечает на палке не более чем $n$ точек. Затем Малыш отмечает на палке не более чем $n$ точек. Все отмеченные точки должны быть различны. Затем палка разрезается по отмеченным точкам, при этом образуются куски-палочки. После этого Карлсон и Малыш поочерёдно берут себе по одной палочке, начинает Карлсон. Так продолжается, пока они не разберут все палочки. Цель каждого — максимизировать суммарную длину своих палочек. При каждом $n$ определите наибольшее значение $c$, для которого Карлсон может обеспечить себе суммарную длину палочек, не меньшую $c$, независимо от действий Малыша.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Дан угол $\theta$, причём $0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$. Величина угла $\theta$ известна Пьеру и Наташе. Они играют в следующую игру. Изначально Пьер вырезает из бумаги треугольник $\mathcal{T}$ по своему усмотрению. Затем они последовательно выполняют ходы по следующим правилам:
$\cdot$ Если хотя бы один из углов треугольника $\mathcal{T}$ равен $\theta$, то игра заканчивается победой Наташи.
$\cdot$ В противном случае Наташа разрезает треугольник $\mathcal{T}$ на два треугольника (по отрезку, соелиняющему выбираемую ею точку $P$ на границе треугольника $\mathcal{T}$, отличную от вершин $\mathcal{T}$, с противоположной вершиной $\mathcal{T}$ ).
$\cdot$ Пьер выбрасывает один из этих треугольников, а второй треугольник становится новым $\mathcal{T}$.
Для каких вещественных значений $\theta$ Наташа может гарантировать себе победу за конечное число ходов независимо от действий Пьера?
комментарий/решение(1)
$\cdot$ Если хотя бы один из углов треугольника $\mathcal{T}$ равен $\theta$, то игра заканчивается победой Наташи.
$\cdot$ В противном случае Наташа разрезает треугольник $\mathcal{T}$ на два треугольника (по отрезку, соелиняющему выбираемую ею точку $P$ на границе треугольника $\mathcal{T}$, отличную от вершин $\mathcal{T}$, с противоположной вершиной $\mathcal{T}$ ).
$\cdot$ Пьер выбрасывает один из этих треугольников, а второй треугольник становится новым $\mathcal{T}$.
Для каких вещественных значений $\theta$ Наташа может гарантировать себе победу за конечное число ходов независимо от действий Пьера?
комментарий/решение(1)
Задача №5. Обозначим через $\mathbb{R}_{ > 0}$ множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}_{ > 0} \rightarrow \mathbb{R}_{ > 0}$, что $$ \sqrt{\frac{x^2+f(y)^2}{2}} \geqslant \frac{f(x)+y}{2} \geqslant \sqrt{x f(y)} $$ при всех $x, y \in \mathbb{R}_{ > 0}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — бесконечная последовательность целых чисел, больших 1. Оказалось, что для каждого целого положительного числа $n$ выполняется следующее условие: наименьшее целое число $t > a_n$, для которого НОД$\left(t, a_i\right) > 1$ при всех $i=1,2, \ldots, n$, равно $a_{n+1}$. Докажите, что найдутся такие целые положительные числа $T$ и $L$, что $$ a_{n+T}=a_n+L $$ при всех целых положительных $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)