Международная олимпиада 2026, Шанхай, 2026 год

Дан угол $\theta$, причём $0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$. Величина угла $\theta$ известна Пьеру и Наташе. Они играют в следующую игру. Изначально Пьер вырезает из бумаги треугольник $\mathcal{T}$ по своему усмотрению. Затем они последовательно выполняют ходы по следующим правилам:
   $\cdot$ Если хотя бы один из углов треугольника $\mathcal{T}$ равен $\theta$, то игра заканчивается победой Наташи.
   $\cdot$ В противном случае Наташа разрезает треугольник $\mathcal{T}$ на два треугольника (по отрезку, соелиняющему выбираемую ею точку $P$ на границе треугольника $\mathcal{T}$, отличную от вершин $\mathcal{T}$, с противоположной вершиной $\mathcal{T}$ ).
   $\cdot$ Пьер выбрасывает один из этих треугольников, а второй треугольник становится новым $\mathcal{T}$.
   Для каких вещественных значений $\theta$ Наташа может гарантировать себе победу за конечное число ходов независимо от действий Пьера?

Комментарий/решение

Ответ:$$\frac{180}{n}, n \ge 2 \in \mathbb{N}$$

Пример:Наташе достаточно выбрать на стороне треугольника точку P такую, что углы в двух новых треугольников равны $$(n-1)\theta \text{ и }\theta.$$Для того чтобы не проиграть сразу Пьер обязан выбрать первый вариант, однако после этого, Наташа может разделять его сколь угодно, пока этот угол не станет $$2\theta$$, и Наташа, после этого очевидно выигрывает

Оценка:

Пусть Пьер сделает исходный треугольник не “удобным”, что никакой из углов не делился на данный угол нацело. Очевидно, что выбирая такие же “неудобные” треугольники, Пьер победит, ибо не найдется ситуации, где у него “безвыходная” ситуация.