Международная олимпиада 2026, Шанхай, 2026 год

$\theta$ бұрышы берілген, мұнда $0^\circ < \theta < 180^\circ.$ $\theta$ бұрышының шамасы Пьер мен Наташаға белгілі. Олар келесі ойынды ойнайды. Бастапқыда Пьер өз қалауынша қағаздан $\mathcal{T}$ үшбұрышын қиып алады. Содан кейін олар кезекпен төмендегі ережелер бойынша жүріс жасайды.
   $\cdot$ Егер $\mathcal{T}$ үшбұрышының кемінде бір бұрышы $\theta$-ға тең болса, онда ойын аяқталып, Наташа жеңеді.
   $\cdot$ Әйтпесе Наташа $\mathcal{T}$ үшбұрышын екі үшбұрышқа бөледі. Ол үшін $\mathcal{T}$ үшбұрышының төбелерімен сәйкес келмейтін шекарасындағы $P$ нүктесін таңдап, оны қарсы төбемен қосатын кесінді жүргізеді.
   $\cdot$ Пьер пайда болған екі үшбұрыштың бірін лақтырып тастайды, ал екіншісі жаңа $\mathcal{T}$ үшбұрышы болады. Наташа Пьердің әрекеттеріне қарамастан шектеулі жүрістер санынан кейін міндетті түрде жеңе алатын барлық нақты $\theta$ мәндерін табыңыз.

Комментарий/решение

Ответ:$$\frac{180}{n}, n \ge 2 \in \mathbb{N}$$

Пример:Наташе достаточно выбрать на стороне треугольника точку P такую, что углы в двух новых треугольников равны $$(n-1)\theta \text{ и }\theta.$$Для того чтобы не проиграть сразу Пьер обязан выбрать первый вариант, однако после этого, Наташа может разделять его сколь угодно, пока этот угол не станет $$2\theta$$, и Наташа, после этого очевидно выигрывает

Оценка:

Пусть Пьер сделает исходный треугольник не “удобным”, что никакой из углов не делился на данный угол нацело. Очевидно, что выбирая такие же “неудобные” треугольники, Пьер победит, ибо не найдется ситуации, где у него “безвыходная” ситуация.