Международная олимпиада 2026, Шанхай, 2026 год

Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — бесконечная последовательность целых чисел, больших 1. Оказалось, что для каждого целого положительного числа $n$ выполняется следующее условие: наименьшее целое число $t > a_n$, для которого НОД$\left(t, a_i\right) > 1$ при всех $i=1,2, \ldots, n$, равно $a_{n+1}$. Докажите, что найдутся такие целые положительные числа $T$ и $L$, что $$ a_{n+T}=a_n+L $$ при всех целых положительных $n$.

Комментарий/решение

Достаточно доказать, что существуют подходящие $L$ и $T$. Это не сложно заметить, так как в последовательности встречаются только натуральные числа, упростив задачу с последовательности в которой встречаются действительные числа.