қазақша
русскийМеждународная олимпиада 2026, Шанхай, 2026 год
Есеп №1. Тақта 2026 бөлікке бөлінген. Әр бөлікте 1-ден үлкен бір бүтін сан жазылған (тақтадағы сандардың бірдей болуы міндетті емес). Уақыт өте келе Пафнутий келесі әрекетті орындайды. Ол ішінде 1-ден үлкен сандар жазылған екі түрлі бөлікті таңдайды. Бірінші бөліктегі санды $m$, ал екіншісіндегі санды $n$ деп белгілейік. Пафнутий осы екі санды $$ \text{ЕҮОБ}(m,n) \quad \text{және} \quad \frac{\text{ЕКОЕ}(m,n)}{\text{ЕҮОБ}(m,n)} $$ сандарымен алмастырады. Ол бұл әрекеттерді мүмкін болғанша жалғастырады.
(a) Пафнутий қандай әрекеттер жасаса да, ақыр соңында тек бір ғана бөлікте 1-ден үлкен сан қалатынын дәлелдеңіз. Осы санды $M$ деп белгілейік.
(b) $M$ санының мәні Пафнутийдің әрекеттеріне тәуелді емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
(a) Пафнутий қандай әрекеттер жасаса да, ақыр соңында тек бір ғана бөлікте 1-ден үлкен сан қалатынын дәлелдеңіз. Осы санды $M$ деп белгілейік.
(b) $M$ санының мәні Пафнутийдің әрекеттеріне тәуелді емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышы берілген. $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларының орталары. $K$ және $L$ нүктелері сәйкесінше $BMC$ және $BNC$ үшбұрыштарының (қатаң түрде) ішінен таңдалған. Сонымен қатар, $K$ нүктесі $ABL$ үшбұрышының (қатаң түрде) ішінде, ал $L$ нүктесі $AKC$ үшбұрышының (қатаң түрде) ішінде жатыр. Сондай-ақ, $\angle KBA=\angle ACL$, $\angle LBK=\angle LNC$, $\angle LCK=\angle BMK$ теңдіктері орындалады. $O$ нүктесі $AKL$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын. $OM=ON$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $n$ оң бүтін саны берілген. Карлсон мен Балақайдың ұзындығы 1 болатын бір таяқшасы бар, оны олар өзара бөліспек. Алдымен Карлсон таяқшада ең көбі $n$ нүкте белгілейді. Содан кейін Балақай таяқшада ең көбі $n$ нүкте белгілейді. Белгіленген барлық нүктелер әртүрлі болуы тиіс. Одан кейін таяқша белгіленген нүктелер бойынша кесіледі де, бірнеше кішкене таяқшалар пайда болады. Содан кейін Карлсон мен Балақай кезектесіп бір-бірден таяқша алады, алғашқы болып Карлсон бастайды. Бұл барлық таяқшалар бөлініп болғанша жалғасады. Әрқайсысының мақсаты — өзіне тиген таяқшалардың жалпы ұзындығын мүмкіндігінше арттыру. Әрбір $n$ үшін Карлсон Балақайдың әрекеттеріне қарамастан өзіне ұзындықтарының қосындысы кемінде $c$ болатын таяқшаларды қамтамасыз ете алатын ең үлкен $c$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $\theta$ бұрышы берілген, мұнда $0^\circ < \theta < 180^\circ.$ $\theta$ бұрышының шамасы Пьер мен Наташаға белгілі. Олар келесі ойынды ойнайды. Бастапқыда Пьер өз қалауынша қағаздан $\mathcal{T}$ үшбұрышын қиып алады. Содан кейін олар кезекпен төмендегі ережелер бойынша жүріс жасайды.
$\cdot$ Егер $\mathcal{T}$ үшбұрышының кемінде бір бұрышы $\theta$-ға тең болса, онда ойын аяқталып, Наташа жеңеді.
$\cdot$ Әйтпесе Наташа $\mathcal{T}$ үшбұрышын екі үшбұрышқа бөледі. Ол үшін $\mathcal{T}$ үшбұрышының төбелерімен сәйкес келмейтін шекарасындағы $P$ нүктесін таңдап, оны қарсы төбемен қосатын кесінді жүргізеді.
$\cdot$ Пьер пайда болған екі үшбұрыштың бірін лақтырып тастайды, ал екіншісі жаңа $\mathcal{T}$ үшбұрышы болады. Наташа Пьердің әрекеттеріне қарамастан шектеулі жүрістер санынан кейін міндетті түрде жеңе алатын барлық нақты $\theta$ мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
$\cdot$ Егер $\mathcal{T}$ үшбұрышының кемінде бір бұрышы $\theta$-ға тең болса, онда ойын аяқталып, Наташа жеңеді.
$\cdot$ Әйтпесе Наташа $\mathcal{T}$ үшбұрышын екі үшбұрышқа бөледі. Ол үшін $\mathcal{T}$ үшбұрышының төбелерімен сәйкес келмейтін шекарасындағы $P$ нүктесін таңдап, оны қарсы төбемен қосатын кесінді жүргізеді.
$\cdot$ Пьер пайда болған екі үшбұрыштың бірін лақтырып тастайды, ал екіншісі жаңа $\mathcal{T}$ үшбұрышы болады. Наташа Пьердің әрекеттеріне қарамастан шектеулі жүрістер санынан кейін міндетті түрде жеңе алатын барлық нақты $\theta$ мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\mathbb{R}_{ > 0}$ арқылы барлық оң нақты сандар жиынын белгілейік. Кез келген $x,y\in\mathbb{R}_{ > 0}$ үшін $$ \sqrt{\frac{x^2+f(y)^2}{2}} \ge \frac{f(x)+y}{2} \ge \sqrt{x\,f(y)} $$ теңсіздіктері орындалатындай барлық $f:\mathbb{R}_{ > 0}\rightarrow\mathbb{R}_{ > 0}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $a_1,a_2,a_3,\ldots$ тізбегі 1-ден үлкен бүтін сандардан тұратын шексіз тізбек болсын. Белгілі болғандай, әрбір оң бүтін $n$ үшін келесі шарт орындалады: барлық $i=1,2,\ldots,n$ үшін $\text{ЕҮОБ}(t,a_i) > 1 $ болатындай және $t > a_n$ болатын ең кіші бүтін сан $t$ дәл $a_{n+1}$-ге тең. Барлық оң бүтін $n$ үшін $$ a_{n+T}=a_n+L $$ теңдігі орындалатындай оң бүтін $T$ және $L$ сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)