Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2026 год

Пусть $n\ge2$ — целое число. Пусть $A_1,A_2,\ldots,A_{2^n}$ — это $2^n$ подмножеств некоторого $n$-элементного множества, расположенные в некотором порядке. Докажите, что \[ |A_1\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+\cdots+|A_{2^n-1}\cap A_{2^n}|+|A_{2^n}\cap A_1|\ge2^{n-2}. \] (Здесь $|X|$ означает число элементов множества $X$.)