Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Пусть точка $O$ является центром окружности. Две равные хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $L$ таким образом, что $AL > LB $ и $ DL > LC $. Пусть $M$ и $N$ соответственно точки на отрезках $AL$ и $DL$ такие, что $\angle ALC = 2\angle MON$. Доказать, что хорда окружности, проходящая через точки $M$ и $N$ равна $AB$ и $CD$.

Комментарий/решение

Из условия выходит что $ACBD$ - равнобедренная трапеция $AD \ || BC$.

Проведем окружности с $R=OF=OE , \ F \in AB , \ E \in CD$ - они же перпендикуляры к $AB,CD$ соответственно. Тогда любые касательные $MN$ к данной окружности удовлетворяют $\angle ALC = 2\angle MON$, так как $MO, \ NO$ биссектриса $AMN, \ MNE$ тогда $$\angle ALC= \angle LMN + \angle LNM = 180^{\circ} - 2\angle OMN + 180^{\circ} - 2\angle ONM = 2(180-\angle OMN-\angle ONM) = 2\angle MON$$

Если $G$ точка касания $MN$ с этой окружностью, тогда $OF=OG$ тогда хорда проходящая через $MN$ равна $AB,CD$