Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Найдите все целые значения чисел $a, b$, при которых число $\frac{\sqrt2+\sqrt{a}}{\sqrt3+\sqrt{b}}$ является рациональным.

Комментарий/решение

Пусть $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}} =\dfrac{p}{q}$ несократимая дробь, тогда преобразовав, возведя в квадрат обе части:

$$q^2a - 2pq\sqrt{ab} + p^2b = 3p^2 - 2pq\sqrt{6} + 2q^2$$

$$q^2a + p^2b - 3p^2 - 2q^2 = 2pq(\sqrt{ab} - \sqrt{6})$$

слева целые, значит справа целые, что возможно когда $\sqrt{ab}=6$

перебирая варианты подходит только $a=3, b=2$