Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

Тізбекте ${{a}_{1}}=1$, ${{a}_{2}}=2$ және $n=2,3,\ldots $ үшін ${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+1}{{{a}_{n-1}}}$. Олай болса, әрбір $n\ge 3$ үшін ${{a}_{n}} > \sqrt{2n}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

База: $n=3.$ $ a_4=\dfrac{a_3a_2+1}{a_2}=\dfrac{7}{2}>\sqrt{6}$

Переход: $n\Longrightarrow n+1.$ $({ \color{red} ! })a_{n}+\dfrac{1}{a_{n-1}}=a_{n+1}>\sqrt{2n+2}$$ (a_{n+1}>a_n)$

$(a_n+\dfrac{1}{a_{n-1}})^2>(a_n+\dfrac{1}{a_{n}})^2>2n+2+\dfrac{1}{a_{n}}^2>2n+2$

кате шыгарган жолын тусындырш ал