Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс

Для вещественных чисел $1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ докажите неравенство $$(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 ).$$ ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Покажем что: $$be+cd \leq bd+ce$$

$$(b-c)(e-d) \leq 0$$ по условию $b-c \leq 0 ; \ e-d \geq 0$

Тогда $$(af+be+cd)(af+bd+ce) \leq (af+bd+ce)^2 \leq (a+b^2+c^3)(d+e^2+f^3)$$

По КБШ: $$(af+bd+ce)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \leq (a+b^2+c^3)(d+e^2+f^3)$$

Осталось показать верность двух последних:

1)$ \ a^2+b^2+c^2 \leq a+b^2+c^3$

$a(a-1) \leq c^2(c-1)$

что верно при $c \geq a $

аналогично

2) $ \ d^2+e^2+f^2 \leq d+e^2+f^3$

при $f \geq d$

Перемножая получаем требуемое