Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

Центрі ${{I}_{a}}$ болатын сыртта іштей сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасын, $AC$ және $AB$ қабырғаларының созындысын жанайды. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $B$ төбесі жатқан $AC$ доғасының ортасын ${{B}_{1}}$ деп белгілейік. ${{I}_{a}}$ және $A$ нүктелерінің ${{B}_{1}}$ нүктесінен бірдей қашықтықта жатқанын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $BI_{a}$ пересекает описанную окружность в точке $L$ так как $\angle I_{a}BC = \angle LBC = 90^{\circ} - \dfrac{\angle B}{2}$ тогда $\angle OLC = \dfrac{\angle B}{2}$ то есть $L=B_{1}$ откуда $\angle AB_{1}I_{a} = \angle A + \angle B$ тогда как $\angle ACI_{a} = 90 + \dfrac{C}{2} = 180- \dfrac{A+B}{2}$ значит точки $I_{a}, C,A$ лежат на одной окружности с центром в точке $B_{1}$.

Пусть $AI_a$ пересекает описанную окружность в точке $D$. По лемме трезубца $\angle DI_aC=\angle DCI_a=\alpha \Longrightarrow \angle ADC=2\alpha=\angle AB_1C\Longrightarrow \angle B_1AC=\angle B_1CA=90-\alpha\Longrightarrow \angle B_1DC=90+\alpha \Longrightarrow DB_1\bot I_aC;$ $DC=DI_a\Longrightarrow$ треугольник $B_1CI_a$ равнобедренный $\Longrightarrow B_1I_a=B_1C=B_1A.$