қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $100\times 100$ өлшемді ұяшықты тақтада $A$ және $B$ ойыншылары ойын ойнауда. Әр ойыншыда бір дойбыдан бар. Ойынның басында $A$-ның дойбысы төменгі сол бұрыштағы ұяшықта, ал $B$-ның дойбысы төменгі оң жақ бұрыштағы ұяшықта тұр. Ойыншылар кезектесіп жүреді, ойынды $A$ ойыншысы бастайды. Бір жүрісте әр ойыншы өз дойбысын сол дойбы тұрған ұяшықтан, оған қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады. $B$-ның ойынына қарамастан, $A$ ойыншысы шекті жүріс санында оның дойбысы $B$-ның дойбысы тұрған ұяшықта болатындай етіп жүре алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $p>q-2$ болатындай және $7^{pq}-5^p$ саны $pq$-ға бөлінетіндей барлық $(p,q)$ жай сандар жұптарын табыңыз.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $O$ нүктесі сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, ал $CH$ — осы үшбұрыштың биіктігі. $K$ нүктесі $H$ нүктесіне $AC$-ға қатысты, ал $L$ нүктесі $H$ нүктесіне $BC$-ға қатысты симметриялы нүкте. $CO$ түзуі $HK$ және $HL$ түзулерін, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $PQH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $KLP$ және $KLQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді, сәйкесінше, екінші рет $P_1$ және $Q_1$ нүктелерінде қияды. $C$, $P_1$ және $Q_1$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Ағаның мазасыз қарындасы сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышын салып, $H$ нүктесінде қиылысатын $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ биіктіктерін жүргізді. Кейін ол үш $AH$, $BH$, $CH$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, алынған өлшемдерді үш қызыл картаға жазды. Мұнымен шектелмей, ол $HA_1$, $HB_1$, $HC_1$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, осы үш өлшемді үш жасыл картаға жазды. Қызыл және жасыл түсті ажырата алмайтын ағаның көңілін көтергісі келген қарындас карточкаларды араластырып, кейін барлық алты картаны ағасының алдына қойды. Егер алты картадағы барлық сандар әртүрлі болса, онда ағасы қай үш карта қызыл карта екенін таба ала ма?
(
Шакиев А.,
Хаджимуратов Н
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $M=\{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{2024}\}$ болсын. Пэддингтон есімді аю $M$ жиынындағы әр санды коэффициент ретінде дәл бір рет қолданып, $ax^2+bx+c$ түрдегі 675 үшмүшелік құрастырды. Кейін ол координаттық жазықтықта осы барлық үшмүшеліктердің графигін сызды. Осы графиктер жазықтықты кем дегенде неше бөлікке бөле алады?
(
Шакиев А.,
Хаджимуратов Н
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $s(n)=1+2+\ldots+n$ және $S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ натурал барлық сандардың квадраттарының жиыны болсын. Келесідей сандар тізбегін анықтайық, $a_1=1$ және кез келген натурал $n$ үшін $a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$. Егер $a_k$ саны $a_l$-ға бөлінсе, онда $k$ саны $l$-ға бөлінетінін, және керісінше, егер $k$ саны $l$-ға бөлінсе, онда $a_k$ саны $a_l$-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)